3. Các tiền bối của Nash: Cournot, Borel, và von Neumann

Biết rằng cân bằng Nash có thể là khái niệm về nghiệm hữu ích cho phân tích động lực trong một tổ chức xã hội, và với tính đơn giản hóa lô-gíc rõ rệt của cân bằng Nash, dường như rất đáng ngạc nhiên vì sao mà khái niệm này không được phát biểu rõ nét sớm hơn nữa trong lịch sử ngành khoa học xã hội. Các ý tưởng cách tân của Machiavelli và Hobbes sử dụng các mô hình lý thuyết trò chơi bất hợp tác có thể mà một thực hành thú vị và bổ ích. Nhưng ứng dụng rõ rệt đầu tiên của cân bằng Nash trong một mô hình toán học chính xác ra đời trong công trình của Cournot.

Trong cuốn sách mở đường xuất sắc, Cournot (1838) xây dựng một lý thuyết về các công ty tựa độc quyền bao gồm các nhà độc quyền và các đối thủ cạnh tranh hoàn hảo với tư cách là các thái cực giới hạn. Ông phát triển mô hình trò chơi cạnh tranh tựa độc quyền, và phân tích chúng bằng phương pháp của cân bằng Nash. Nhưng tất nhiên ông viết trước Nash tới hơn một thế kỷ, và vì thế chúng ta buộc phải tự hỏi phải chăng Cournot nên được ghi nhận công lao cho khái niệm cân bằng bất hợp tác. Trên thực tế, một số nhà kinh tế đề xuất rằng, thay vì gọi là cân bằng Nash, chúng ta nên gọi là “cân bằng Cournot-Nash” hoặc thậm chí cân “bằng Cournot”.

Tuy vậy thuật ngữ như thế sẽ dễ gây nhầm lẫn. Chúng ta có thể nhắc tới Cournot như là cha đẻ của lý thuyết tựa độc quyền, nhưng gán cho ông công lao tư tưởng nghiệm cơ sở của lý thuyết trò chơi bất hợp tác sẽ gây nhầm lẫn một ứng dụng của một phương pháp với phương thức hình thành tổng quát của phương pháp đó. Điểm khác biệt này chính là điều Cournot sẽ ghi nhận được chính xác. Ông viết một cuốn sách ngắn về kinh tế toán, nhưng ông viết một cuốn sách dài hơn nhiều về triết lý của khoa học và các cơ sở của tri thức. Nếu ông đã nhận ra rằng lý thuyết trò chơi bất hợp tác có thể dẫn đến một cấu trúc thống nhất tổng quát cho việc phân tích tất cả mọi loại hình tổ chức xã hội, ông sẽ muốn viết về nó nhiều hơn bất cứ ai thuộc thế hệ của ông.

Nhưng ông không nhận ra điều đó. Cournot không phát triển tiếp sự khác biệt về nhận thức luận giữa việc hình thành nên các mô hình trò chơi cụ thể của ông với phương pháp luận tổng quát sử dụng để phân tích chúng. Trước hết Cournot phân tích sự cạnh tranh giữa các công ty nhằm bán cùng một hàng hóa tiêu dùng, rồi ông phân tích một mô hình thứ hai của các nhà sản xuất các đầu vào bổ sung cho một hàng hóa làm ra. Trong phân tích sau, Cournot có lưu ý rằng ông đã áp dụng cùng phương pháp lập luận như trong mô hình ban đầu. Nhưng xa hơn điểm lưu ý có tính giới thiệu, Cournot không dành công sức để phát biểu thành mệnh đề một phương pháp luận tổng quát về phân tích cân bằng.

Trên thực tế, còn khá xa với việc tìm kiếm phương pháp giải tích tổng quát trong tác phẩm Cournot, độc giả của Joseph Bertrand (1883) cho tới William Fellner (1949) cũng tìm được các mô hình cụ thể về tựa độc quyền trong đó đưa ra một số dự báo ứng dụng lý thú nhưng đều cần viện đến một số giả thiết không hẳn là luôn đúng (xem Leonard 1994). Cụ thể là một khi Cournot đã chứng minh rằng sản lượng tối ưu của công ty 2 phụ thuộc vào sản lượng của công ty 1, điều này có vẻ bất hợp lý cho giám đốc của công ty giả định rằng sản lượng công ty 2 sẽ giữ nguyên nếu ông ta thay đổi sản lượng của công ty 1. Cho tới khi phản biện này được trả lời, thì phương pháp của Cournot không có vẻ như một lý thuyết tổng quát bắt buộc về hành vi hợp lý.

Câu trả lời của phản biện này bắt đầu với ghi chú trong công trình ngắn của nhà toán học Emile Borel (1921). Xét một lớp các trò chơi 2 người, tổng bằng không, Borel bắt đầu nghiên cứu liệu có khả năng xác định một phương pháp chơi tốt hơn tất cả các phương pháp khác. Trong khi đặt ra các cấu trúc chuẩn cho mô hình, Borel có lưu ý rằng một phương pháp chơi nên hiểu ở đây mang ý nghĩa là “một qui tắc xác định cho mọi tình huống có thể chính xác là điều một người chơi muốn thực hiện”. Đưa ra lưu ý này, Borel tự cho phép bỏ qua cấu trúc thời gian của các trò chơi. Vì vậy trong công trình này và cả tiếp sau về trò chơi (xem Maurice Frechet 1953), Borel đơn giản là trình bày từng trò chơi như một ma trận các con số chỉ ra giá trị kỳ vọng cho mội người chơi cho từng cặp phương pháp chơi.

Công trình vĩ đại đầu tiên của Von Neumann (1928) về lý thuyết trò chơi bắt đầu với phần có tên “Các đơn giản hóa tổng quát” giúp đặt ra hướng phát triển đầy đủ của tư tưởng. Trong phần này, Von Neumann đặt công thức rõ ràng cho một mô hình tổng quát trò chơi, trong đó những người chơi đánh bài lần lượt theo thời gian với thông tin không hoàn hảo về nước đi của từng người khác. Vì người chơi có thể có chút ít thông tin về các bước trước của người khác, chúng ta không thể giả định rằng tất cả các bước đánh bài đều độc lập với nhau trong một trò chơi nhiều bước. Nhưng theo cách của Borel, von Neumann tiếp theo định nghĩa một chiến lược cho từng người theo cách là một kế hoạch đầy đủ, tại mỗi giai đoạn khi đến lượt, như một hàm của thông tin anh ta có được tại thời điểm bước đó. Một người chơi hợp lý có thể lựa chọn chiến lược của anh ta trước khi ván chơi bắt đầu, bởi vì một chiến lược cho phép anh ta đưa ra từng nước đi khác nhau trong mọi tình huống. Nhưng “trước khi trò chơi bắt đầu” lại có nghĩa là trước khi bất cứ kết cục nào của người chơi khác có thể quan sát được. Vì thế trong mục này von Neumann kết luận rằng mỗi người chơi buộc phải chọn chiến lược mà không được thông tin gì về lựa chọn chiến lược chơi của người khác.

Do đó von Neumann (1928) lập luận rằng hầu như bất cứ trò chơi cạnh tranh nào đều có thể được lên mô hình theo một cấu trúc đơn giản như sau: Tồn tại một tập người chơi, mỗi người có một tập các chiến lược và một hàm lợi ích xây dựng được từ tích Đề-các của các tập chiến lược chơi ánh xạ vào tập số thực, và mỗi người buộc phải lựa chọn chiến lược chơi riêng độc lập hoàn toàn với những người khác. Von Neumann và Morgenstern (1944) gọi cấu trúc này dạng chuẩn tắc biểu diễn các trò chơi nhiều bước tổng quát. Một khi chúng ta hiểu cách thức hình thành này của dạng chuẩn, chúng ta có thể hiểu rằng rất có thể dẫn đến việc đánh mất tính tổng quát trong nghiên cứu các trò chơi trong đó người chơi chỉ được ra quyết định chiến lược hoàn toàn độc lập.

Cách hiểu này là điều ngày nay cho phép chúng ta chấp nhận giả thiết cơ sở của Cournot rằng các đối thủ cạnh tranh quyết định một cách độc lập. Có lẽ công ty 2 có thể quyết sản lượng năm sau căn cứ vào sản lượng công ty 1 tại năm nay; nhưng điều này chỉ có nghĩa là công ty 2 có không gian chiến lược lớn hơn điều mà Cournot thừa nhận. Ở mức độ kế hoạch hóa chiến lược, chúng ta vẫn có thể giả thiết công ty 2 lựa chọn chiến lược độc lập với lựa chọn của công ty 1. Tư tưởng này về tính độc lập chiến lược chưa được thừa nhận trong công trình của Cournot (1838) hoặc bởi các nhà kinh tế trong thế kỷ tiếp theo cho tới khi người ta nắm bắt được từ von Neumann. Mặc dù von Neumann (1953) cho rằng Borel có công lao đối với khái niệm cơ sở về chiến lược, rất khó để biết bằng cách nào các nhà kinh tế lại tiếp thu được nguyên lý tính độc lập chiến lược tổng quát từ một ghi chú ngắn ngủi của Borel. Vì thế trình bày đầy đủ về dạng chuẩn và tư tưởng độc lập chiến lược có thể được xem như đóng góp quan trọng đầu tiên của von Neumann đối với lý thuyết trò chơi.

Tuy thế, von Neumann lại không áp dụng nguyên tắc độc lập chiến lược một cách nhất quán. Trong phân tích các trò chơi với hơn hai người, von Neumann (1928) giả định rằng người chơi chỉ đơn giản lựa chọn các chiến lược của mình một cách độc lập, thế nhưng họ không điều phối các chiến lược theo cách liên minh. Hơn nữa, bằng cách nhấn mạnh vào các giá trị cực đại, von Neumann ngầm giả định rằng bất cứ lựa chọn nào về chiến lược cho người chơi hoặc liên minh đều cần được đánh giá dựa trên các phản hồi hợp lý của người chơi khác, như thể là những người khác trong ván bài có thể lập kế hoạch phản ứng sau khi đã quan sát thấy lựa chọn chiến lược của anh ta. Trước Nash, tuy thế, dường như ít ai chú ý rằng các giả thiết này không nhất quán với lập luận của von Neumann về tính độc lập của chiến lược chơi cho các đối thủ trong ván chơi dạng chuẩn tắc.

Von Neumann (1928) cũng bổ sung thêm hai ràng buộc vào dạng chuẩn và làm hạn chế rất nhiều tính tổng quát của mô hình tương tác xã hội cho các khoa học xã hội: Ông giả định rằng lợi ích thu về có thể chuyển sang cho nhau, và tất cả các trò chơi đều có tổng lợi ích bằng không. Để hiểu lý do ông bổ sung các giả thiết có vẻ như không cần thiết này, chúng ta nhớ lại đóng góp lớn thứ hai của ông cho lý thuyết trò chơi: định lý minimax.
Trong định lý minimax, von Neumann (1928) chứng minh sự tồn tại tổng quát của các nghiệm minimax trong các chiến lược ngẫu nhiên hóa cho các trò chơi hữu hạn bước, hai người và tổng bằng không. Với các trò chơi này, định lý minimax tương đương về mặt lô-gíc với sự tồn tại của cân bằng Nash. Chứng minh của Von Neumann’s (1928) về định lý minimax sử dụng mẹo thiên tài nhằm rút gọn bài toán thành một chuỗi các bước giản đơn, được chứng minh bằng cách áp dụng tương đương dạng 1-chiều của định lý điểm bất động Kakutani (Shizuo Kakutani 1941). (Sau khi von Neumann sử dụng định lý điểm bất động Brouwer trong phân tích mô hình tăng trưởng kinh tế 1937, một cách tự nhiên Kakutani đưa ra định lý điểm bất động của ông như là sự tổng quát hóa của hai kỹ thuật toán học mà von Neumann trước đó đã sử dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của các mô hình kinh tế.) Nhưng von Neumann xây dựng định lý minimax theo cách là đẳng thức giữa các giá trị mà mỗi người chơi có thể tự đảm bảo cho mình, bất luận đối thủ rat ay thế nào, chứ không phải theo cách đạt đến tối ưu có tương tác giữa các cặp chiến lược. Khi được xây dựng như thế, định lý có thể không thể mở rộng ra cho các trò chơi hơn 2 người hoặc không phải tổng bằng không.

Theo cách của Borel (1921), von Neumann (1928) nhận thấy rằng sự tồn tại của các nghiệm minimax có thể không chứng minh được trừ khi công nhận các chiến lược được ngẫu nhiên hóa. Để phân tích các trò chơi có ngẫu nhiên hóa, tuy nhiên chúng ta cần một lý thuyết về cách thức người chơi ra quyết định trong môi trường bất trắc. Borel và von Neumann sử dụng một giả thiết truyền thống theo cách của Daniel Bernoulli 1738 là, khi có tính không chắc chắn, mỗi người chơi muốn tối đa hóa lợi ích kỳ vọng của mình. Nhưng von Neumann không hài lòng lắm với giả định này. Các so sánh giá trị kỳ vọng cần đến một khả năng đo số phần tử tập hợp của các lợi ích, điều này mâu thuẫn với hiểu biết của các nhà lý thuyết kinh tế khi đó hiểu rằng mức hiệu dụng chỉ một khái niệm sắp trật tự thuần túy. Vào năm 1928 và sau đó lần nữa vào năm 1944 trong cuốn sách với Morgenstern, von Neumann nỗ lức chứng minh tính hợp lý của giả thiết tính hiệu dụng bằng cách xác định tất cả các mức lợi ích với thanh toán chuyển tiền mặt, điều này dẫn ông tới ràng buộc rằng lợi ích có thể chuyển qua lại và các trò chơi có tổng bằng không.

Trong lần xuất bản năm 1947, von Neumann và Morgenstern công bố đóng góp lớn thứ ba cho lý thuyết trò chơi: nghiệm tiên đề của tối đa hóa mức hiệu dụng kỳ vọng từ một đối thay thế. Điểm chứng tỏ mới về tính hiệu dụng đo được này đáng lẽ phải khiến hai ông tiếp tục nghiên cứu việc loại bỏ giả thiết hạn chế đã nói ở trên, nhưng hai ông đã không tiến hành việc này.

Vì thế tới năm 1948 von Neumann và Morgenstern đã phát triển rất nhiều yếu tố cơ sở cho một lý thuyết trò chơi: các dạng chuẩn và phức hợp bằng khái niệm chiến lược, việc sử dụng các định lý về điểm bất động để chứng minh tồn tại nghiệm cho trò chơi có ngẫu nhiên hóa, và suy luận tổng quát về tiêu chuẩn của hiệu dụng kỳ vọng trong quá trình ra quyết định cá nhân. Nhưng trên con đường các ông đi đến việc tập hợp các tư tưởng lớn này trong một lý thuyết thống nhất về trò chơi, von Neumann và Morgenstern không áp dụng chúng một cách nhất quán, triệt để. Vì thế khi John Forbes Nash Jr. tới Princeton trong vai trò sinh viên sau đại học, thời gian đã chín muồi cho một nhà toán học trẻ đầy tài năng người có can đảm tự mình xét lại toàn bộ cấu trúc của lý thuyết trò chơi, xẻ nhỏ các phần tư tưởng ra, rồi sắp xếp chúng lại một cách đúng đắn.
(còn nữa)
Roger B. Myerson, J. L. Kellogg Graduate School of Management, Northwestern University. E-mail:
myerson@nwu.edu Journal of Economic Literature, Sep99, Vol. 37 Issue 3, p1067, 16p.

————————————————————————————————–

Vương Quân Hoàng, www.saga.vn

 

0 Comments

You can be the first one to leave a comment.

Leave a Comment

 




 
*