Tết sắp đến và ngày Lễ Tình Yêu cũng sẽ đến vào dịp này, “người già nhất (?)” viết cho SAGA gửi tặng các bạn trẻ thích toán (tôi cảm thấy hình như các bạn trẻ SAGA khá hào hứng với Toán Học) một Định Lý tôn vinh Phái Đẹp. Đó là định lý nói rằng "toàn bộ phụ nữ trên trái đất đều là Hoa Hậu".

Có lẽ các bạn đọc SAGA đều biết phương pháp chứng minh bằng quy nạp mà chúng ta đã học trong trường phổ thông và thường đã có dịp dùng đến ít nhiều ở bậc đại học. Dù sao tôi cũng nhắc lại vì lỡ có bạn nào đã quên.

inductive1.gifGiả sử chúng ta có một định lý (một mệnh đề) liên quan đến các số tự nhiên, ký hiệu nó làM(n). Để chứng minh sự đúng đắn của định lý M(n) thì có một phương pháp chứng minh gọi là PP chứng minh bằng quy nạp.

Để các trình bày tiếp theo được gọn, ta ký hiệu sự kiện đúng hay sai của định lýM(n) là hàmF[M(n)] với nghĩa là F[M(n)] = 0 khi M(n) sai với giá trị n nào đó và F[M(n)] = 1 khiM(n) đúng với giá trị n nào đó.

Thí dụ xét mệnh đề M(n) sau đây: mọi số tự nhiên lẻ đều là số nguyên tố (chỉ chia hết cho 1 và cho chính nó).

Khi đó F[M(1)] = 1; F[M(3)]= 1; F[M(5)] = 1; F[M(7)]= 1; F[M(9)]= 0; ….

Thí dụ khác, xét mệnh đề M(n) sau đây: mọi số tự nhiên mà tổng các chữ số để viết nên nó chia hết cho 9 thì bản thân nó chia hết cho 9. Có thể chứng minh đây là định lý đúng, tức

F[M(n)]= 1 với mọi n thỏa điều kiện tổng các chữ số viết nên nó chia hết cho 9.

Chẳng hạn ta thấy các số 9, 18, 27, 36, 45, …, 216, …, 1566, … đều chia hết cho 9.

Nội dung PP chứng minh bằng quy nạp như sau:

Việc chứng minh định lý M(n) đúng với mọi n chính là việc chứng minh F[M(n)]= 1 với mọi n.

Để làm điều này ta cần thực hiện 2 bước chứng minh sau:

Bước 1 (gọi là kiểm tra điều kiện đầu): hãy chỉ ra rằng F[M(1)]= 1. Nói cách khác, ta phải chứng minh được mệnh đề M(n) đúng với n = 1.

Bước 2 (gọi là kiểm tra giả thiết quy nạp): Hãy chứng minh rằng nếu F[M(k)]= 1 với mọi k = n – 1 thì F[M(k)]= 1 khi k = n.

Sau khi vượt qua được 2 bước trên, ta có kết luận F[M(n)]= 1 với mọi n.

Định lý cơ bản:

Bất kỳ nhóm phụ nữ gồm n người với mọi n, thì n người ấy đều là Hoa Hậu.

Chứng minh

Chúng ta sẽ sử dụng PP quy nạp đã nhắc lại ở trên.valentine_gal.gif

Bước 1 (kiểm tra điều kiện đầu): Ta phải chứng minh định lý đúng với n = 1, nghĩa là xét mọi nhóm chỉ gồm một người phụ nữ thì người đó phải là Hoa Hậu. Điều này hiển nhiên đúng vì khi đó người phụ nữ đang xét là duy nhất, không so sánh với ai, vì vậy hiển nhiên nàng là Hoa Hậu vì Hoa Hậu là sự so sánh để tìm ra người số 1. Chúng ta đã kiểm tra điều kiện đầu.

Bước 2 (kiểm tra giả thiết quy nạp): Nếu từ giả thiết định lý đúng với mọi nhóm phụ nữ gồm n – 1 người, tức nếu mọi nhóm có n – 1 phụ nữ thì họ sẽ tòan là Hoa Hậu ta sẽ chứng minh mọi nhóm gồm n phụ nữ cũng sẽ tòan là Hoa Hậu. Thật vậy, xét nhóm n phụ nữ bất kỳ. Ta mời 1 người tách ra khỏi nhóm này. Khi đó ta có nhóm n – 1 người. Theo giả thiết định lý đúng với tập hợp n – 1, có nghĩa n – 1 người còn lại sẽ tòan là Hoa Hậu. Tiếp theo, ta mời 1 Hoa Hậu trong số n -1 Hoa Hậu này tạm đứng ra ngòai, và mời người đã tạm tách ra lúc trước trở lại. Khi đó ta lại có nhóm n -1 người mà theo giả thiết về tính đúng của định lý cho trường hợp n – 1 ta lại có tòan Hoa Hậu. Lúc này với n – 1 Hoa Hậu (gồm cả người tách ra lúc đầu) và Hoa Hậu vừa được mời tách ra lần thứ 2, ta có tòan bộ n người đều là Hoa Hậu. Bước 2 rất quan trọng đã hòan tất.

Vậy định lý đã được chứng minh. Từ định lý này ta dễ dàng suy ra rằng toàn bộ phụ nữ trên trái đất đều là Hoa Hậu.

Tôi không dám tin lắm vào điều vừa chứng minh, nhưng cũng … không thể và không muốn tìm ra chỗ ngụy biện của điều vừa chứng minh để bác bỏ nó. Cầu chúc cho định lý là đúng! Ý kiến của các bạn thế nào?

© Nguyễn Trọng, SAGA – saga .vn

 

0 Comments

You can be the first one to leave a comment.

Leave a Comment

 




 
*